基礎数学
- 2022年5月1日
ペアノの公理系
- 対象
- 大学2.0年
- 前提知識
- 集合の基礎
- 写像
- 集合族の共通部分
自然数が満たすべき性質をまとめたペアノの公理系は有名で,巷で盛んに紹介されています.自然数全体の集合は数学において基本的なものですから,自然数とはそもそも何かを追求するのは健全な姿勢です.自然数について紹介しているウェブページは沢山ありますが,この文書では自然数を知る上でかなり重要な概念である「再帰性定理(recursion theorem)」について掘り下げて解説します.
漸化式による数列の定義は認められる?
まずは再帰性定理を学ぶ意義について軽く解説します.例えば, で定義される数列 なんてものを平然と扱いますが,一般項が初等的に表せなくてもそのような数列を数学では扱うことができます.つまり,実際に計算せずとも,すべての自然数 に対して がただ一つ確定している,としてよいのです.このような漸化式によって数列が確定するという事実は,再帰性定理によるものなのです.中間値の定理や平均値の定理のように,具体的に幾つかは不明だけど,それを満足する実数は存在する,そんな感覚に似ています.
- 2022年5月1日
再帰性定理
- 対象
- 大学2.0年
- 前提知識
- 集合の基礎
- 写像
- 集合族の共通部分
回合成の定式化
再帰性定理とは,集合 とその元 ,写像 に対し, を で 回写したものを とする写像 の存在およびその一意性を保証するものです.つまり,写像の「 回合成」を定式化したものです.例えば, を として定義するのは厳密ではありません.「 個の を掛け合わせたもの」をうまく論理式で表すことができないからです.そこで,再帰性定理を用い, をかける写像 を 回合成することによって を定義するわけです.
- 2022年5月2日
指数の可換性
- 対象
- 大学2.0年
- 前提知識
- 集合の基礎
- 写像
- 抽象的な代数計算
モノイドを考えよう
二項演算やモノイドという言葉にピンと来る人は飛ばしてください.
前ページで, に対する の厳密に定義しました.この定義に基づけば などの指数にまつわる性質を帰納法で初めて証明することができます(勿論 の加法や乗法を定義してからですが).ところで冪乗について,なにも実数に限定する必要はなく, に対する も同様に定義され,指数法則なども証明できます.
- 2022年5月3日
- 2022年5月19日
加法と乗法
- 対象
- 大学2.0年
- 前提知識
- 集合の基礎
- 写像
自然数の基本性質
を自然数の体系とします.前ページで以下を証明しました.
命題
をモノイドとする.任意の に対し,
さて,集合 に対し,写像 全体の集合 は,写像の合成に関して恒等写像 を単位元とするモノイドですので, の 回合成写像が 考えられ,上の命題も満たします.
- 2022年5月3日
- 2022年5月22日
順序構造
- 対象
- 大学2.0年
- 前提知識
- 集合の基礎,順序集合
順序の定義
回合成流でいくと, という関係は, を有限回 で写すと に一致すること,すなわち です.
定義
順序の定義
に対し, が成り立つとき, または とかく.特に のとき,それぞれ とかく.
- 2022年5月7日
- 2022年5月19日
自然数の体系の一意性
- 対象
- 大学2.0年
- 前提知識
- 集合の基礎
- 写像
- 全単射
自然数の体系は本質的に一つ……とは?
ペアノの公理系について再確認しましょう.
定義
自然数の体系
集合 と, と,写像 が以下を満たすとき, を自然数の体系と呼ぶ.
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- が以下を満たすとき,.
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ペアノの公理系を満たしさえすれば,様々なものが自然数の体系になりえます.自然数の体系というと,次のような 最初の自然数から始まる一本の反直線のイメージがあると思います:
- 2022年5月10日
再帰性定理 II
- 対象
- 大学2.0年
- 前提知識
- 集合の基礎
- 写像
- 直積集合
- 2022年5月13日
- 2022年5月21日
有限集合
- 対象
- 大学2.0年
- 前提知識
- 集合の基礎
- 写像
- 2022年5月14日
- 2022年5月22日
様々な帰納法
- 対象
- 大学2.0年
- 前提知識
- 集合の基礎