証明

帰納法．${\sigma }^0(0)=1_{\mathbf{N}}(0)=0$ より $n=0$ のとき成立．${\sigma }^n(0)=n$ を仮定すると $$\begin{array}{r}{\sigma }^{\sigma (n)}=\sigma {\sigma }^n(0)=\sigma ({\sigma }^n(0))=\sigma (n)\end{array}$$ だから $\sigma (n)$ のときも成立．

証明

$n+1={\sigma }^1{\sigma }^n(0)=\sigma (n)$．

証明

(1) $m+0={\sigma }^0{\sigma }^m(0)=1_{\mathbf{N}}{\sigma }^m(0)={\sigma }^m(0)=m$． (2) について， $$\begin{array}{rlrl}m+(n+1)& ={\sigma }^{n+1}{\sigma }^m(0)& & \text{(∵ 加法の定義)}\\ & =(\sigma {\sigma }^n){\sigma }^m(0)& & \text{(∵ 冪乗の定義)}\\ & =\sigma ({\sigma }^n{\sigma }^m(0))& & \text{(∵ 合成写像の結合律)}\\ & =\sigma (m+n)& & \text{(∵ 加法の定義)}\\ & =(m+n)+1& & \text{(∵ 基本性質)}\end{array}$$ である．

証明

$n$ についての帰納法．$a^m{a}^0=a^{m}e=a^m=a^{m+0}$．$a^m{a}^n=a^{m+n}$ を仮定すると $$\begin{array}{rlrl}{a}^m{a}^{n+1}& =a^m(a{a}^n)& & \text{(∵ 冪乗の定義)}\\ & =(a^{m}a)a^n& & \text{(∵ 結合律)}\\ & =(a{a}^m)a^n& & \text{(∵ 指数の可換性)}\\ & =a(a^m{a}^n)& & \text{(∵ 結合律)}\\ & =a{a}^{m+n}& & \text{(∵ 帰納法の仮定)}\\ & =a^{(m+n)+1}& & \text{(∵ 冪乗の定義)}\\ & =a^{m+(n+1)}& & \text{(∵ 加法の帰納的性質)}\end{array}$$ だから $n+1$ のときも成立．題意は示された．

証明

(1) 写像は結合律を満たすので，指数の可換性も踏まえると $$\begin{array}{rl}& {\sigma }^n({\sigma }^m{\sigma }^l)=({\sigma }^n{\sigma }^m){\sigma }^l，\\ & {\sigma }^n({\sigma }^l{\sigma }^m)=({\sigma }^m{\sigma }^n){\sigma }^l．\end{array}$$ 指数法則1より $$\begin{array}{r}{\sigma }^n({\sigma }^{l+m})=({\sigma }^{m+n}){\sigma }^l．\end{array}$$ $0$ をこの写像で写せば $(l+m)+n=l+(m+n)$ を得る．

(2) 指数法則より ${\sigma }^n{\sigma }^m={\sigma }^m{\sigma }^n$．ゆえに $m+n=n+m$．

(3) $n+0=n$ はすでに証明済みで，(2) より $n+0=0+n$ も成り立つ．

証明

$1+1={\sigma }^1{\sigma }^1(0)=\sigma \sigma (0)=\sigma (1)=2$．

証明

$(a^m{)}^0=1=a^0=a^{m0}=1$ より，$n=0$ のとき成立．$(a^m{)}^n=a^{mn}$ を仮定すると， $$\begin{array}{rlrl}(a^m{)}^{n+1}& =a^m(a^m{)}^n& & \text{(∵ 冪乗の定義)}\\ & =a^m{a}^{mn}& & \text{(∵ 帰納法の仮定)}\\ & =a^{m+mn}& & \text{(∵ 指数法則1)}\\ & =a^{mn+m}& & \text{(∵ 加法の可換律)}\\ & =a^{m(n+1)}& & \text{(∵ 乗法の帰納的性質)}\end{array}$$　だから，$\sigma (n)$ のときも成立．

証明

(1) 指数法則2より，$({\sigma }^{lm}{)}^n=(({\sigma }^l{)}^m{)}^n=({\sigma }^l{)}^{mn}$．これで $0$ を写せばよい．

(2) $({\sigma }^m{)}^n=({\sigma }^n{)}^m$ で $0$ を写せばよい．

(3) $n1=({\sigma }^n{)}^1(0)={\sigma }^n(0)=n$．(2)より $n1=1n$ である．

証明

(1) $n$ についての帰納法．$n=0$ のときは両辺 $0$ で正しい．$(l+m)n=ln+mn$ を仮定すると

$$\begin{array}{rlrl}(l+m)(n+1)& =(l+m)n+(l+m)& & \text{(∵ 乗法の帰納的性質)}\\ & =(ln+mn)+(l+m)& & \text{(∵ 帰納法の仮定)}\\ & =(ln+l)+(mn+m)& & \text{(∵ 加法の結合律，可換律)}\\ & =l(n+1)+m(n+1)& & \text{(∵ 乗法の帰納的性質)}\end{array}$$ より，$n+1$ のときも成立．(2) は乗法の可換律より成立．

証明

冪乗の定義を繰り返すと $$\begin{array}{rl}({\sigma }^2{)}^3& ={\sigma }^2({\sigma }^2{)}^2={\sigma }^2{\sigma }^2{\sigma }^2=\sigma \sigma \sigma \sigma \sigma \sigma \end{array}$$ だから，$2\cdot 3=({\sigma }^2{)}^3(0)=\sigma \sigma \sigma \sigma \sigma \sigma (0)=6$．

証明

対偶を示す．$m\ne 0,n\ne 0$ とすると，ある $k,l\in \mathbf{N}$ に対し， $$\begin{array}{r}m=k+1,n=l+1\end{array}$$ と表せるから $$\begin{array}{r}mn=kl+k+l+1=\sigma (kl+k+l)\ne 0．\end{array}$$ 題意は示された．