証明

$0+n=n$ だから $0\leqq n$．

証明

$l$ についての帰納法．$m+0=n+0$ ならば $m=n$ より，$l=0$ のとき成立．$l$ のとき成り立つと仮定すると， ⟺⟺⟹⟹​m+(l+1)=n+(l+1)(m+l)+1=(n+l)+1σ(m+l)=σ(n+l)m+l=n+lm=n​​(∵ σ は単射)(∵ 帰納法の仮定)​ だから，$l+1$ のときも成立．

証明

$n\ne 0$ のとき，ある $l\in \mathbf{N}$ に対し $l+1=n$．このとき $$\begin{array}{r}(m+l)+1=0\text{i.e.,}\sigma (m+n)=0\end{array}$$ だから，$0$ は $m+n$ の後者となりペアノの公理系 (P1)に反する．ゆえに $n=0$．すると $$\begin{array}{r}m+n=0⟺0+m=0+0\end{array}$$ だから，簡約律より $m=0$．

証明

(1) $n+0=n$ より $n\leqq n$．

(2) 条件よりある $l,k\in \mathbf{N}$ に対し $m+l=n,n+k=m$．ゆえに $$\begin{array}{r}m+(k+l)=m．\end{array}$$ 簡約律より，$k+l=0$．補題より $k=l=0$．$\therefore n=m$．

(3) 条件よりある $k,k^{\prime }\in \mathbf{N}$ に対し，$l+k=m,m+k^{\prime }=n$．ゆえに $$\begin{array}{r}(l+k)+k^{\prime }=m+k^{\prime }=n\text{i.e.,}l+(k+k^{\prime })=n\end{array}$$ だから $l\leqq n$．

証明

($\Rightarrow$) $m<n$ ならば，$m\leqq n$ だから，ある $l\in \mathbf{N}$ に対し $m+l=n$．$l=0$ とすると，$m=n$ で $m\ne n$ に反するので $l\ne 0$．ゆえにある $k$ に対し $l=k+1$．よって， $$\begin{array}{r}m+(k+1)=n\text{i.e.,}(m+1)+k=n\end{array}$$ だから $m+1\leqq n$．

($\Leftarrow$) $m+1\leqq n$ ならば，ある $k\in \mathbf{N}$ に対し，$m+1+k=n$ だから $m\leqq n$．$m=n$ とすると，簡約律より $1+k=0$ で，$1=k=0$ となり矛盾する．

証明

$n$ についての帰納法．$0\leqq m$ だから $n=0$ とき成立．$m\leqq n\vee n\leqq m$ を仮定し，$m\leqq n$ と $n\leqq m$ のときで場合分けする．

$m\leqq n$ のとき，$n\leqq n+1$ だから推移律より $m\leqq n+1$．

$n\leqq m$ のとき，$m=n$ ならば，$m\leqq n+1$，$m\ne n$ ならば $n<m$ で，補題より $n+1\leqq m$ が成り立つ．

どの場合でも $m\leqq n+1\vee n+1\leqq m$ が成り立つので，$n+1$ のときも成立．

証明

($\Rightarrow$) 全順序性より，$m/\leqq n$ ならば，$n\leqq m$．$n=m$ とすると，$m\leqq n$ ともかけるので矛盾．$\therefore n<m$．

($\Leftarrow$) 対偶 $n\nless m⟹m\leqq n$ を示す．$n<m$ は $n\leqq m\wedge n\ne m$ の略記なので，ド・モルガンの法則より $n\nless m$ は，$n/\leqq m\vee n=m$ のこと．$n/\leqq m$ のとき，全順序性より $m\leqq n$．$n=m$ のとき，$m\leqq n$．どの場合でも $m\leqq n$．

証明

任意の $n\in \mathbf{N}$ に対し，$M$ が $n$ 以下の数をもつ（$\exists m\in Mm\leqq n$）ならば $\min M$ が存在することを帰納法で示せばよい．$0\in M$ ならば，$\min M=0$ である．

$n$ のとき成り立つと仮定し，$n+1\in M$ とする．$M$ が $n$ 以下の数をもつとき，帰納法の仮定より $\min M$ は存在．$M$ が $n$ 以下の数をもたないとき，$\min M=n+1$ である．

証明

$m\leqq n$ ならばある $k\in \mathbf{N}$ に対し $m+k=n$．よって， $$\begin{array}{r}(m+l)+k=(m+k)+l=n+l\end{array}$$ だから，$m+l\leqq n+l$．また， $$\begin{array}{r}ml+kl=(m+k)l=nl\end{array}$$ だから，$ml\leqq nl$．

証明

$d:=m-n$ とおくと，$n+d=m$．ゆえに $$\begin{array}{rl}& n+(l+d)=l+(n+d)=l+m．\\ & n+(l+d)=l+m,\\ & (l+m)-n=l+d．\end{array}$$ $d=m-n$ より題意は示された．

証明

$m-n$ は $n+d=m$ を満たす $d\in \mathbf{N}$ のことで，両辺 $l$ 倍すると $$\begin{array}{r}ln+ld=lm\text{i.e.,}ld=lm-ln\end{array}$$ ゆえに $l(m-n)n=lm-ln$．