自然数の体系は本質的に一つ……とは？

ペアノの公理系について再確認しましょう．

ペアノの公理系を満たしさえすれば，様々なものが自然数の体系になりえます．自然数の体系というと，次のような 最初の自然数から始まる一本の反直線のイメージがあると思います：

となると，左端の $0$ を除いた次も，自然数の体系と構造的には同じと考えるでしょう：

実際，ある自然数の体系 $(\mathbf{N},0,\sigma )$ に対し， $$\begin{array}{rl}{\mathbf{N}}^{\prime }& :=\mathbf{N}\setminus \{0\}\\ {\sigma }^{\prime }& :=\sigma {|}_{\mathbf{N}}(\text{σ の定義域を N′ に制限したもの})\end{array}$$ とすると，$({\mathbf{N}}^{\prime },1,{\sigma }^{\prime })$ もペアノの公理系を満たすので自然数の体系です．

モノとしてはたくさんの自然数の体系がある中で，本質的には一つしかありません．これを自然数の体系の一意性と呼びましょう．

「本質的に一つしかない」ことの意味を説明するのは難しいのですが，ざっくり言うと，二つの自然数の体系 $\mathcal{N}=(\mathbf{N},0,\sigma ),{\mathcal{N}}^{\prime }=({\mathbf{N}}^{\prime },0^{\prime },{\sigma }^{\prime })$ が与えられたとき，それらは見た目は違っていても，もっている性質がまったく同じということです．だから，$\mathcal{N}$ で成り立つ性質は当然 ${\mathcal{N}}^{\prime }$ でも成り立つし，逆に $\mathcal{N}$ では成り立たない性質は，${\mathcal{N}}^{\prime }$ でも成り立ちません．例えば $\mathcal{N}$ で加法を定義すると $2+3=5$，すなわち $$\begin{array}{r}\sigma \sigma (0)+\sigma \sigma \sigma (0)=\sigma \sigma \sigma \sigma \sigma (0)\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$ が成り立ちます．${\mathcal{N}}^{\prime }$ において同様に加法を定義すると $$\begin{array}{r}{\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }(0^{\prime })+{\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }(0^{\prime })={\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }(0^{\prime })\end{array}\text{\hspace{1em}(1’)}$$ が成り立ちます．$(1^{\prime })$ は， $(1)$ の $\sigma ,0$ をそれぞれ ${\sigma }^{\prime },0^{\prime }$ に置き換えただけの等式なので，見た目は違いますが同じ性質といえます．ただ，$(1)$ も $(1^{\prime })$ もペアノの公理系に基づいて証明されたものなので，同じ性質が成り立つのは当たり前と言えば当たり前です．

ペアノの公理が欠けていると……

$0,1,2,3,4,0^{\prime },1^{\prime },2^{\prime },3^{\prime },4^{\prime }$ を相異なる記号とします．$\mathbf{N}:=\{0,1,2,3\}$ とし，写像 $\sigma$ を $$\begin{array}{r}0\stackrel{\sigma }{}1\stackrel{\sigma }{}2\stackrel{\sigma }{}3\stackrel{\sigma }{}0\end{array}$$ で定義すると，$\mathcal{N}:=(\mathbf{N},0,\sigma )$ は (P1) 以外をすべて満たします．これを仮に自然数の体系もどきと呼ぶことにします．次に，${\mathbf{N}}^{\prime }:=\{0^{\prime },1^{\prime },2^{\prime },3^{\prime },4^{\prime }\}$ とし，写像 ${\sigma }^{\prime }$ を $$\begin{array}{r}{0}^{\prime }\stackrel{{\sigma }^{\prime }}{}{1}^{\prime }\stackrel{{\sigma }^{\prime }}{}{2}^{\prime }\stackrel{{\sigma }^{\prime }}{}{3}^{\prime }\stackrel{{\sigma }^{\prime }}{}{4}^{\prime }\stackrel{{\sigma }^{\prime }}{}{0}^{\prime }\end{array}$$ で定義すると，${\mathcal{N}}^{\prime }:=({\mathbf{N}}^{\prime },0^{\prime },{\sigma }^{\prime })$ も自然数の体系もどきです．$\mathcal{N},{\mathcal{N}}^{\prime }$ は同じ公理を満たしますが，異なる性質を持っています．例えば，$\mathcal{N}$ においては $$\begin{array}{r}\sigma \sigma \sigma \sigma (0)=0\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$ が成り立ちますが，${\mathcal{N}}^{\prime }$ においては ${\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }(0^{\prime })=4^{\prime }$ ゆえに $$\begin{array}{r}{\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }(0^{\prime })\ne 0^{\prime }\end{array}\text{\hspace{1em}(2’)}$$ です．もし自然数の体系もどきが本質的に一つなら，$(2)$ において $0$ を $0^{\prime }$ に，$\sigma$ を ${\sigma }^{\prime }$ に置き換えたものがそのまま成り立っていてくれそうですが，実際そうはなっていませんでした．自然数の体系もどきは，本質的に一つではないからです．ペアノの公理系(P1) が欠けると一意性を失うのです．

ちなみに $(2)$ はペアノの公理系 (P2) (P3) から証明されたわけではないので，$\mathcal{N}$ 独自の性質です．独自ゆえに他の自然数の体系もどき ${\mathcal{N}}^{\prime }$ では成り立たないことがあるのです．

独自の性質が一般の性質に！

もし，$\mathcal{N}$ が真の自然数の体系ならば，$\mathcal{N}$ において独自に証明された性質は，自然数の体系の一意性より，他の自然数の体系 ${\mathcal{N}}^{\prime }$ でも成り立つことが直ちに証明できます．独自だと思っていた性質が一般的な性質になるのです．これが一意性のパワーです．

具体例を挙げましょう．前ページで，一般の自然数の体系 $\mathcal{N}=(\mathbf{N},0,\sigma )$ における整列性を証明しましたが，一旦そのような性質はなかったものとしてください．

自然数の体系として，無限公理を出発として定義する ${\mathcal{N}}^{\prime }:=(\omega ,\varnothing ,\mathrm{suc})$ がありました．この体系においては，$m<n$ が $m\in n$ と同値になります．足立恒雄氏の『数 体系と歴史』では，この性質を利用し $\omega$ の整列性を簡潔に証明しています．通常の自然数の体系 $\mathcal{N}$ では，$m,n\in \mathbf{N}$ に対し $m<n⟺m\in n$ は成り立たないので，『数 体系と歴史』の整列性による証明は， $\mathcal{N}$ においてはトレースできません．ですので，そのようにして得られた整列性は ${\mathcal{N}}^{\prime }$ の独自の性質に見えます．しかし，自然数の体系の一意性より，${\mathcal{N}}^{\prime }$ で独自に証明した整列性はほぼ自動的に $\mathcal{N}$ でも成り立つのです．

一体どうやればそのような芸当ができるのかを説明しましょう．

翻訳機「同型写像」を考える

整列性の例と同様に，自然数の一意性なるものによって，$\mathcal{N}=(\mathbf{N},0,\sigma )$ における等式

$$\begin{array}{r}\sigma \sigma (0)+\sigma \sigma \sigma (0)=\sigma \sigma \sigma \sigma \sigma (0)\end{array}$$ から，${\mathcal{N}}^{\prime }=({\mathbf{N}}^{\prime },0,\sigma )$ における等式 $$\begin{array}{r}{\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }(0^{\prime })+{\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }(0^{\prime })={\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }(0^{\prime })\end{array}$$ が直ちに求まることになります．それには，$\mathcal{N}$ の世界の文を ${\mathcal{N}}^{\prime }$ の世界の文に書き換える翻訳機が必要です．それは写像 $\mathbf{N}\to {\mathbf{N}}^{\prime }$ で実現できます．どんな写像かというと，$(\mathbf{N},0,\sigma )$ において，$0$ を $1,2,3,\dots$ を $$\begin{array}{r}0\stackrel{\sigma }{}1\stackrel{\sigma }{}2\stackrel{\sigma }{}3\stackrel{\sigma }{}\cdots \end{array}$$ で定義し，$({\mathbf{N}}^{\prime },0^{\prime },{\sigma }^{\prime })$ において，$1^{\prime },2^{\prime },3^{\prime },\dots$ を ${\sigma }^{\prime }$ で繰り返し写して得られる自然数を順に $$\begin{array}{r}{0}^{\prime }\stackrel{{\sigma }^{\prime }}{}{1}^{\prime }\stackrel{{\sigma }^{\prime }}{}{2}^{\prime }\stackrel{{\sigma }^{\prime }}{}{3}^{\prime }\stackrel{{\sigma }^{\prime }}{}\cdots \end{array}$$ で定義するとき， $$\begin{array}{rl}0& \stackrel{\phi }{}{0}^{\prime }\\ 1& \stackrel{\phi }{}{1}^{\prime }\\ 2& \stackrel{\phi }{}{2}^{\prime }\\ 3& \stackrel{\phi }{}{3}^{\prime }\\ & ⋮\end{array}$$ を満たすような写像 $\phi :\mathbf{N}\to {\mathbf{N}}^{\prime }$ が望ましいですね．ただこのように $\dots$ を用いるような定義では，すべての $n\in \mathbf{N}$ に対する $\phi (n)$ を定義したことにはなりません．そこで再帰性定理の出番ですが，写像の $n$ 回合成推しのこの文書ではそっち方面で進めてみます．

$n\in \mathbf{N}$ は $0$ を $\sigma$ で $n$ 回写したものです．だから，$n$ に対しては，$0^{\prime }$ を ${\sigma }^{\prime }$ で $n$ 回写したものを対応させる写像が最も自然です．つまり， $$\begin{array}{r}n⟼({\sigma }^{\prime }{)}^n(0^{\prime })\end{array}$$ として，写像 $\mathbf{N}\to {\mathbf{N}}^{\prime }$ を定義するのです．すると例えば $$\begin{array}{r}\phi (3)=({\sigma }^{\prime }{)}^3(0^{\prime })={\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }(0^{\prime })=3^{\prime }\end{array}$$ が成り立つので，さっきの要件を満たします．

同型写像を単に同型と呼ぶことがしばしばあります．

全単射を示す上で以下の補題を使用しました．

同型写像で翻訳しよう

同型の基本性質 $\phi (0)=0^{\prime },\phi \sigma ={\sigma }^{\prime }\phi$ を用いて翻訳をしてみましょう．例えば

$$\begin{array}{rl}\sigma \sigma (0)\stackrel{\phi }{}& \phi \sigma \sigma (0)\\ =& {\sigma }^{\prime }\phi \sigma (0)\\ =& {\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }\phi (0)\\ =& {\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }(0^{\prime })\end{array}$$ と，$\phi$ がどんどん深く入り込んでゆき $$\begin{array}{r}\phi \sigma \sigma (0)={\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }(0^{\prime })\end{array}$$ という翻訳が成り立ちます．同様に $$\begin{array}{rl}\phi \sigma \sigma \sigma (0)& ={\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }(0^{\prime })\\ \phi \sigma \sigma \sigma \sigma \sigma (0)& ={\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }(0^{\prime })\end{array}$$ も成り立ちます．また，すぐに証明しますが，同型 $\phi :\mathbf{N}\to {\mathbf{N}}^{\prime }$ は以下のような性質をもっています：

これで，$\mathbf{N}$ の世界の和を ${\mathbf{N}}^{\prime }$ の世界の和に翻訳できます．$\mathbf{N}$ の世界における等式 $$\begin{array}{r}\sigma \sigma (0)+\sigma \sigma \sigma (0)=\sigma \sigma \sigma \sigma \sigma (0)\end{array}$$ の両辺を $\phi$ で写すと $$\begin{array}{rl}\phi (\sigma \sigma (0)+\sigma \sigma \sigma (0))& =\phi (\sigma \sigma \sigma \sigma \sigma (0)),\\ \phi \sigma \sigma (0)+\phi \sigma \sigma \sigma (0)& =\phi \sigma \sigma \sigma \sigma \sigma (0),\\ {\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }(0^{\prime })+{\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }(0^{\prime })& ={\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }(0^{\prime })\end{array}$$ を得ます．同型 $\phi$ を用いて，$\sigma ,0$ で構成された $\mathcal{N}$ の世界の等式を， ${\sigma }^{\prime },0^{\prime }$ に置き換えた ${\mathcal{N}}^{\prime }$ の世界の等式に翻訳することができました．翻訳において鍵になった性質は二つあり，一つ目は $$\begin{array}{r}\phi \sigma \sigma \sigma (0)={\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }(0^{\prime })\end{array}$$ といった，$\sigma ,0$ を ${\sigma }^{\prime },0^{\prime }$ に置き換える性質です．これを一般化したものを証明しましょう．

この補題で， $$\begin{array}{r}\phi \sigma \sigma \sigma (0)=\phi {\sigma }^3(0)=({\sigma }^{\prime }{)}^3\phi (0)={\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }{\sigma }^{\prime }(0^{\prime })\end{array}$$ という変形が認められます．

また，翻訳の鍵になった二つ目の性質は

という $\phi$ の加法性という性質です．加法性を用いると例えば，$\mathbf{N}$ における加法の可換律 $$\begin{array}{r}\forall m,n\in \mathbf{N}m+n=n+m\end{array}$$ を用いて，${\mathbf{N}}^{\prime }$ における加法の可換律 $$\begin{array}{r}\forall m^{\prime },n^{\prime }\in {\mathbf{N}}^{\prime }{m}^{\prime }+n^{\prime }=n^{\prime }+m^{\prime }\end{array}$$ が成り立つことも直ちに証明できます．実際，任意に $m^{\prime },n^{\prime }\in {\mathbf{N}}^{\prime }$ をとると，$\phi$ は全単射よりある $m,n\in \mathbf{N}$ に対し $$\begin{array}{r}{m}^{\prime }=\phi (m),n^{\prime }=\phi (n)．\end{array}$$ $\mathbf{N}$ では加法の可換律が成り立っているので $$\begin{array}{r}m+n=n+m．\end{array}$$ $\phi$ で写して $$\begin{array}{rl}\phi (m+n)& =\phi (n+m),\\ \phi (m)+\phi (n)& =\phi (n)+\phi (m),\\ m^{\prime }+n^{\prime }& =n^{\prime }+m^{\prime }\end{array}$$ を得ます．これで ${\mathbf{N}}^{\prime }$ の可換律が証明できました．同様に $\mathbf{N}$ の結合律と同型を用いて ${\mathbf{N}}^{\prime }$ の結合律を証明できます．

同型写像の加法性などを証明

$(\mathbf{N},0,\sigma ),({\mathbf{N}}^{\prime },0^{\prime },{\sigma }^{\prime })$ を自然数の体系，$\phi :\mathbf{N}\to {\mathbf{N}}^{\prime }$ を同型写像とします．当たり前ですが，$\mathcal{N}$ の世界で生まれた写像の $n$ 回合成と，${\mathcal{N}}^{\prime }$ の世界で生まれた写像の $\phi (n)$ 回合成は同じ概念です．一応証明します．

${\mathcal{N}}^{\prime }$ の世界での冪乗の定義より，

1. $a^{0^{\prime }}=e$，
2. $\forall n^{\prime }\in {\mathbf{N}}^{\prime }{a}^{{\sigma }^{\prime }(n^{\prime })}=a{a}^{n^{\prime }}$

が成り立つことに注意してください．

同型写像を利用して整列性を証明しよう

なんらかの方法で $\mathcal{N}$ において整列性が証明できたとします．つまり， $\varnothing \ne M\subset \mathbf{N}$ なる任意の $M$ に対し $\min M$ が存在するとします．

このとき，${\mathcal{N}}^{\prime }$ において整列性が同型を用いて簡潔に証明できます．まず，$\varnothing \ne M^{\prime }\subset {\mathbf{N}}^{\prime }$ を任意にとります．$\phi$ は全単射だから ${\phi }^{-1}(M^{\prime })$ は $\mathbf{N}$ の部分集合で空ではないので，最小元 $m$ が存在します．このとき，$m^{\prime }:=\phi (m)$ が $M^{\prime }$ の最小元になっています．実際，$m$ の最小性より， $$\begin{array}{r}\forall n\in {\phi }^{-1}(M)m\leqq n\end{array}$$ が成り立ちます．よって，任意の $n^{\prime }\in M^{\prime }$ に対し，$m\leqq {\phi }^{-1}(n^{\prime })$ が成り立ち，両辺を同型写像 $\phi$ で写せば $m^{\prime }\leqq n^{\prime }$ をえるので，$m^{\prime }=\min M^{\prime }$ です．

一見，説明過多で複雑に見えるかもしれませんが，このような証明が非常に簡潔だと感じられるようであれば，同型の概念をマスターしているといえます．根本にある部分は簡潔だけど，いざ，証明として文章におこすと長ったらしく，複雑に見えるのです．