ペアノの公理系
- 2022年5月1日
ペアノの公理系
- 対象
- 大学2.0年
- 前提知識
- 集合の基礎
- 写像
- 集合族の共通部分
自然数が満たすべき性質をまとめたペアノの公理系は有名で,巷で盛んに紹介されています.自然数全体の集合は数学において基本的なものですから,自然数とはそもそも何かを追求するのは健全な姿勢です.自然数について紹介しているウェブページは沢山ありますが,この文書では自然数を知る上でかなり重要な概念である「再帰性定理(recursion theorem)」について掘り下げて解説します.
漸化式による数列の定義は認められる?
まずは再帰性定理を学ぶ意義について軽く解説します.例えば, で定義される数列 なんてものを平然と扱いますが,一般項が初等的に表せなくてもそのような数列を数学では扱うことができます.つまり,実際に計算せずとも,すべての自然数 に対して がただ一つ確定している,としてよいのです.このような漸化式によって数列が確定するという事実は,再帰性定理によるものなのです.中間値の定理や平均値の定理のように,具体的に幾つかは不明だけど,それを満足する実数は存在する,そんな感覚に似ています.
- 2022年5月1日
再帰性定理
- 対象
- 大学2.0年
- 前提知識
- 集合の基礎
- 写像
- 集合族の共通部分
回合成の定式化
再帰性定理とは,集合 とその元 ,写像 に対し, を で 回写したものを とする写像 の存在およびその一意性を保証するものです.つまり,写像の「 回合成」を定式化したものです.例えば, を として定義するのは厳密ではありません.「 個の を掛け合わせたもの」をうまく論理式で表すことができないからです.そこで,再帰性定理を用い, をかける写像 を 回合成することによって を定義するわけです.
- 2022年5月7日
- 2022年5月19日
自然数の体系の一意性
- 対象
- 大学2.0年
- 前提知識
- 集合の基礎
- 写像
- 全単射
自然数の体系は本質的に一つ……とは?
ペアノの公理系について再確認しましょう.
定義
自然数の体系
集合 と, と,写像 が以下を満たすとき, を自然数の体系と呼ぶ.
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- が以下を満たすとき,.
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ペアノの公理系を満たしさえすれば,様々なものが自然数の体系になりえます.自然数の体系というと,次のような 最初の自然数から始まる一本の反直線のイメージがあると思います: