言いたいことも言えないこんな4次元じゃ
- 2022年5月13日
- 2022年5月21日
- 対象
- 大学2.0年
- 前提知識
- 集合の基礎
- 写像
有限集合や,集合の元の個数について解説します.
空写像について 集合 B に対し,写像 f:∅→B を形式的に考えることができます.その前に,∅ との直積が ∅ であることの説明をします.
現代数学(集合論)では,順序対 (a,b) は {{a},{a,b}} で定義されます.これは,P(P(A∪B)) の元です.ここで,P(X) は集合 X の冪集合のことです.
さて,a∈A,b∈B に対する (a,b) 全体は A×B={p∈P(P(A∪B))∣∃a∈A∃b∈Bp=(a,b)} として定義されます.これを我々は普通, A×B={(a,b)∣a∈A,b∈B} とも書きます.A=∅ または B=∅ のとき, ∃a∈A∃b∈Bp=(a,b) は常に成り立たないので,A×B=∅ です.
さて,集合 B (空も認める)と,f⊂∅×B に対し, ∀a∈∅∃!b∈B(a,b)∈f は成り立ちます.なぜならば,上の文は ∀aa∈∅⟹∃!b∈B(a,b)∈f(∗) の略記で,a∈∅ は次に成り立ちません.つまり,(∗) 自体は常に成り立ちます(P が成り立たないとき,P⟹Q は常に成り立つ).形式的な話ですが,f:∅→B は写像の定義に当てはまります.これを空写像といいます.f⊂∅×B=∅ ゆえに f=∅ に限り,∅:∅→B ともかけます.
ちなみに f⊂A×∅ のとき,f は写像の一条件 ∀a∈A∃b∈B(a,b)∈f を満たしません.この文は ∀a∈A∃b[b∈∅∧(a,b)∈f] の略記で,b∈∅ は常に不成立だからです.
命題 空写像 集合 B に対し,写像 f:∅→B はただ一つ存在し,f=∅ である.MORE