言いたいことも言えないこんな4次元じゃ
- 2022年5月10日
- 対象
- 大学2.0年
- 前提知識
- 集合の基礎
- 写像
- 直積集合
再帰性定理 I で扱えない関数 私は勝手に再帰性定理にバージョンを付けているのですが,初代再帰性定理は以下でした(加法が定義されたので σ(n) は n+1 とかけるようになりました).
定理 再帰性定理 I 集合 X とその元 a∈X,写像 f:X→X に対し,以下を満たす写像 φ:N→X が一意的に存在する:
φ(0)=a, ∀n∈Nφ(n+1)=f(φ(n)). 例えば 2n は,写像 f(x)=2x に対し再帰性定理を用いて
φ(0)=1 ∀n∈Nφ(n+1)=f(φ(n))=2p(n) を満たす写像 p:N→N を考え,φ(n) を 2n と書けばよかったのでした.再帰性定理は,φ(0) を指定し,φ(n) を用いて φ(n+1) を定義する方法を与える(写像 f:X→X)ことによって,すべての n∈N に対し φ(n) を定める写像の定義法を提供します.ただし,この定理だけでは不便な点があります.例えば階乗のような,n と φ(n) を用いて φ(n+1) を定義するような写像は作れないのです.
例えば,再帰性定理 I だけでは
F(0)=1 ∀n∈NF(n+1)=(n+1)F(n) を満たすような写像 F:N→N を定めることができません.どうやっても f:X→X に該当する写像 f を表現することができないからです.F(n+1) の定め方に,裸の n を用いているのが原因です.後に k=0∑nak も定義しますが,これも再帰性定理 I では実現できません.MORE