言いたいことも言えないこんな4次元じゃ
- 2022年5月13日
- 2022年5月21日
- 対象
- 大学2.0年
- 前提知識
- 集合の基礎
- 写像
有限集合や，集合の元の個数について解説します．
空写像について 集合 B に対し，写像 f:∅→B を形式的に考えることができます．その前に，∅ との直積が ∅ であることの説明をします．
現代数学（集合論）では，順序対 (a,b) は {{a},{a,b}} で定義されます．これは，P(P(A∪B)) の元です．ここで，P(X) は集合 X の冪集合のことです．
さて，a∈A,b∈B に対する (a,b) 全体は A×B={p∈P(P(A∪B))∣∃a∈A∃b∈Bp=(a,b)} として定義されます．これを我々は普通， A×B={(a,b)∣a∈A,b∈B} とも書きます．A=∅ または B=∅ のとき， ∃a∈A∃b∈Bp=(a,b) は常に成り立たないので，A×B=∅ です．
さて，集合 B （空も認める）と，f⊂∅×B に対し， ∀a∈∅∃!b∈B(a,b)∈f は成り立ちます．なぜならば，上の文は ∀aa∈∅⟹∃!b∈B(a,b)∈f(∗) の略記で，a∈∅ は次に成り立ちません．つまり，(∗) 自体は常に成り立ちます（P が成り立たないとき，P⟹Q は常に成り立つ）．形式的な話ですが，f:∅→B は写像の定義に当てはまります．これを空写像といいます．f⊂∅×B=∅ ゆえに f=∅ に限り，∅:∅→B ともかけます．
ちなみに f⊂A×∅ のとき，f は写像の一条件 ∀a∈A∃b∈B(a,b)∈f を満たしません．この文は ∀a∈A∃b[b∈∅∧(a,b)∈f] の略記で，b∈∅ は常に不成立だからです．
命題 空写像 集合 B に対し，写像 f:∅→B はただ一つ存在し，f=∅ である．MORE
